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若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解,則實數k的取值范圍為
k<0或k=4
k<0或k=4
分析:由于k出現在真數位置,故我們可以對k分大于0,等于0,小于0三種情況進行討論,然后利用對數函數的運算性質,將問題轉化為整式方程根的個數問題,結合韋達定理及圖解法,即可得到結論.
解答:解:若k=0,則lg(kx)無意義,此時方程lg(kx)=2lg(x+1)無實根;
若k>0,則方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解,即
kx=(x+1)2只有一個正根,
2-k<0
(2-k)2-4=0

解得:a=4
若k<0,由于方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解,
分別作出函數y=lg(kx)和y=2lg(x+1)的圖象,它們始終有一個交點,
∴方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解,
∴k<0符合題意.
綜上滿足條件的實數k的范圍k<0或k=4.
故答案為:k<0或k=4.
點評:本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷,其中利用對數函數的運算性質,將問題轉化為整式方程根的個數問題,是解答本題的關鍵.
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