Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中.

（1）求證：B₁D⊥平面A₁C₁B；（2）求三棱錐B₁－A₁C₁B的體積；

（3）求異面直線BC₁與AA₁所成的角的大小.

Answer 1

（1）證明：如圖，連BD、B₁D₁，

∵ A₁B₁C₁D₁是正方形，

∴ A₁C₁⊥B₁D₁，

又∵ BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁底面A₁B₁C₁D₁，

∴ A₁C₁⊥BB₁，∴ A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，

∴ B₁D⊥A₁C₁，同理可證：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁＝C₁，

故B₁D⊥平面A₁C₁B.

（2）解：＝··1·1·1＝.

（3）解：∵ AA₁∥BB₁，

∴ 異面直線BC₁與AA₁所成的角就是BC₁與BB₁所成的角，即∠B₁BC₁＝45⁰.

故異面直線BC₁與AA₁所成的角為45⁰.