Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，AA₂＝2;點D在棱BB₁上，BD＝BB₁；B₁E⊥A₁D，垂足為E，求：

(Ⅰ)異面直線A₁D與B₁C₁的距離；

(Ⅱ)四棱錐C－ABDE的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)由直三棱柱的定義知B1C1⊥B1D，又因為∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，從而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E．又B1E⊥A1D， 　　故B1E是異面直線B1C1與A1D的公垂線 　　由知 　　在Rt△A1B1D中，A2D＝ 　　又因 　　故B1E＝ 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC為四棱錐C－ABDE的高．從而所求四棱錐的體積V為 　　V＝VC－ABDE＝ 　　其中S為四邊形ABDE的面積．如答(19)圖，過E作EF⊥BD，垂足為F． 　　在Rt△B1ED中，ED＝ 　　又因S△B1ED＝ 　　故EF＝ 　　因△A1AE的邊A1A上的高故 　　S△A1AE＝ 　　又因為S△A1BD＝從而 　　S＝S△A1AE－S△A1AE－S△A1B1D＝2－ 　　所以 　　解法二： (Ⅱ)如圖，以B點為坐標原點O建立空間直角坐標系O－xyz，則 　　A(0，1，0)，A1(0，1，2)，B(0，0，0) 　　B1(0，0，2)，C1(，0，2)，D(0，0，) 　　因此 　　 　　設E(，y0，z0)，則， 　　因此 　　又由題設B1E⊥A1D，故B1E是異面直線B1C1與A1D的公垂線 　　下面求點E的坐標 　　因B1E⊥A1D，即 　　 　　又 　　 　　聯(lián)立(1)、(2)，解得，，即， 　　所以． 　　(Ⅱ)由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE．即BC為四棱錐C－ABDE的高． 　　下面求四邊形ABDE的面積． 　　因為SABCD＝SABE＋SADE， 　　而SABE＝ 　　SBDE＝ 　　故SABCD＝ 　　所以