Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜ρ＜π）在x=

π

12

時(shí)取得最大值4．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

，求sinα．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)T=

2π

w

可直接得到答案．
（2）先根據(jù)最大值求出振幅A的值，再由x=

π

12

時(shí)取得最大值可求出ρ的值，進(jìn)而可得到函數(shù)f（x）的解析式．
（3）根據(jù)f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

，求出cos2α的值，最后根據(jù)二倍角公式得到sinα的值．

解答：解：（1）由周期計(jì)算公式，可得T=

2π

3

（2）由f（x）的最大值是4知，A=4
f(x)max=f(

π

12

)=4sin(3×

π

12

+ρ)=4，即sin（

π

4

+ρ）=1
∵0＜ρ＜π，∴

π

4

＜

π

4

+ρ＜

5π

4

∴

π

4

+ρ=

π

2

，∴ρ=

π

4

∴f（x）=4sin（3x+

π

4

）
（3）f（

2

3

α+

π

12

）=4sin[3（

2

3

α+

π

12

）+

π

4

]=

12

5

，即sin[3（

2

3

α+

π

12

）+

π

4

]=

3

5

sin(2α+

π

2

)=

3

5

，cos2α=

3

5

，1-2sin2α=

3

5

，sin2α=

1

5

，sinα=±

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的基本性質(zhì)--周期和最值．屬基礎(chǔ)題．