Question

已知

a

=(m，sin2x)，

b

=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=

a

•

b

，若函數f（x）的圖象經過點（0，1）和(

π

4

，1)．
（1）求m、n的值；
（2）用五點法畫出f（x）在一個周期內的大致圖象．
（3）若函數g（x）=af（x）+1在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根據它的圖象過 (0，1)，(

π

4

，1)，求得m和n的值．
（2）由（1）可得 f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，再用五點法作出它在一個周期上的簡圖．
（3）根據正弦函數的定義域和值域，結合函數g（x）=af（x）+1在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值與最小值之和為3，求得a的值．

解答：解：（1）求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根據它的圖象過 (0，1)，(

π

4

，1)，求得m=1，n=1．
（2）由（1）可得 f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
列表：

2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
f（x）	0	2	0	- 2	0

如圖：

（3）∵g(x)=

2a

sin(2x+

π

4

)+1，-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3

4

π，
∴-1≤

2

sin(2x+

π

4

)≤

2

，-a≤

2

asin(2x+

π

4

)≤

2

a(a＞0)，
或a＜0，

2

a≤

2

asin(2x+

π

4

)≤-a，
∴

2

a-a+2=3，a=

2

+1．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．