Question

已知奇函數f（x）在x≥0時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分．
（1）補全函數f（x）的圖象并寫出函數f（x）的表達式；
（2）寫出函數f（x）的單調區間；
（3）若方程f（x）=a有三個不同的根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的圖象關于原點對稱，及已知條件可得函數f（x）的圖象，根據函數f（x）的圖象頂點坐標及與x軸交點坐標，可得函數的解析式；
（2）由（1）中函數的圖象，結合從左到右函數圖象上升對應函數的單調遞增區間，下降對應函數的單調遞減區間，可得函數f（x）的單調區間；
（3）根據（1）中函數的圖象，可得方程f（x）=a有三個不同的根，則實數a的值介于函數的最值之間，可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）根據奇函數的圖象關于原點對稱，故函數f（x）的圖象如圖：
…（3分）
當x≥0時，設解析式是y=a（x-1）²-2，代入（2，0）得a=2，
即y=2=2x（x-1）²=2x²-4x…（5分）
同理求得當x＜0時，設解析式是y=-2x²-4x…（7分）
所以解析式是f(x)=

2x2-4x，x≥0 -2x2-4x，x＜0

…（8分）
（2）由圖可得函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1]，[1，+∞）
函數f（x）的單調遞減區間為[-1，1]
（3）由圖可得y=f（x）與y=a有三個交點時，-2＜a＜2…（10分）
所以方程f（x）=a有三個不同的根，實數a的取值范圍是（-2，2）…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，函數的圖象，是函數圖象和性質的簡單綜合，難度不大，屬于基礎題型．