Question

若θ∈R，且滿足條件5x=sinθ+

3

cosθ+3，則二次函數f（x）=a²x²-2a²x+1（a為常數）的值域為

 

．

Answer 1

分析：利用和角公式可得，5x  =sinθ+

3

cosθ+3=2sin(θ+

π

3

)+3由-1≤sin(θ+

π

3

)≤1可求x的取值范圍，而f（x）=a²x²-2a²x+1=a²（x-1）²+1-a²及a≠0 可得a²＞0，對稱軸x=1，結合二次函數的性質可求

解答：解：∵5x  =sinθ+

3

cosθ+3=2sin(θ+

π

3

)+3
又∵-1≤sin(θ+

π

3

)≤1
∴1≤2sin(θ+

π

3

)≤5  即1≤5^x≤5
從而有0≤x≤1
∴f（x）=a²x²-2a²x+1=a²（x-1）²+1-a²
∵a≠0∴a²＞0，對稱軸x=1
∴函數在[0，1]單調遞減，故可得函數在x=1時取得最小值1-a²，在x=0時函數取得最大值1
故答案為：[1-a²，1]

點評：本題以三角函數為載體考查二次函數的值域的求解，屬于求二次函數的最值問題，解題的關鍵是根據和角公式求出x的范圍，而二次函數的性質的應用也是解題的關鍵．