Question

已知函數f(x)=loga(1-

4

x+2

)，（a＞0，a≠1）
（1）寫出f（x）的定義域、值域、單調區間（不必證明）；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）是否存在實數a使得f（x）的定義域為[m，n]，值域為[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式可得 1-

4

x+2

＞0，即

x-2

x+2

＞0，由此求得故定義域．根據1-

4

x+2

≠1，可得 y≠0，由此得函數的值域．根據函數1-

4

x+2

的單調區間求得函數f(x)=loga(1-

4

x+2

)的增區間．
（2）定義域關于原點對稱，且f（-x）+f（x）=0，可得f（x）是奇函數．
（3）a＞1時，根據函數f（x）在[m，n]上是增函數，1+log_an＞1+log_am，可得函數的值域不可能為[1+log_an，1+log_am]，此時，a不存在．
0＜a＜1時，f（x）單調遞減，則由loga(1-

4

x+2

)=1+log_ax，可得ax²+（2a-1）x+2=0．由題意可得，ax²+（2a-1）x+2=0有兩個大于2的不等實根．根據二次函數的性質求得a的范圍．

解答：解：（1）由函數的解析式可得 1-

4

x+2

＞0，即

4

x+2

＜1，即

x-2

x+2

＞0，
即（x-2）（x+2）＞0，
∴x＞2，或 x＜-2，
故定義域為{x|x＜-2，或x＞2}．
由函數的解析式可得 1-

4

x+2

≠1，
∴y≠0，故值域為{y|y≠0}．
在（-∞，-2）上，1-

4

x+2

是增函數，在（2，+∞）上，函數1-

4

x+2

是增函數，
故函數f(x)=loga(1-

4

x+2

)的增區間為（-∞，-2），（2，+∞）．
（2）定義域關于原點對稱，且f(x)+f(-x)=loga

x-2

x+2

+loga

-x-2

-x+2

=0，
∴f（x）是奇函數．
（3）a＞1時，由復合函數的單調性可得函數f(x)=loga(1-

4

x+2

)在[m，n]上是增函數，
∴1+log_an＞1+log_am，
故函數的值域不可能為[1+log_an，1+log_am]，此時，a不存在．
0＜a＜1時，f（x）單調遞減，
則由loga(1-

4

x+2

)=1+log_ax，
可得

x-2

x+2

=ax，
即ax²+（2a-1）x+2=0．
由題意可得，ax²+（2a-1）x+2=0有兩個大于2的不等實根．
設g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
則有

△=(2a-1)2-8a＞0 - 2a-1 2a ＞2 g(2)＞0

，
解得0＜a＜

3-2 2

2

．
綜上，存在實數a，滿足0＜a＜

3-2 2

2

，符合題中條件．

點評：本題主要考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．