Question

已知函數f(x)=

x2

ax+b

（a，b為常數）且方程f（x）-x+12=0有兩個實根為x₁=3，x₂=4．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當k＞0時，解關于x的不等式：f(x)＜

x(x-k)

2-x

．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f(x)=

x2

ax+b

（a，b為常數）且方程f（x）-x+12=0有兩個實根為x₁=3，x₂=4，代入可構造關于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，是解答本題的關鍵．
（2）由（1）中函數的解析式，可將不等式f(x)＜

x(x-k)

2-x

轉化為一個分式不等式的形式，進而解答得到答案．

解答：解：（1）將x1=3，x2=(4分)別代入方程

x2

ax+b

-x+12=0得

9 3a+b =-9 16 4a+b =-8

，
解得

a=-1 b=2

，所以f(x)=

x2

2-x

(x≠2)（8分）
（2）不等式即為

x2

2-x

＜

x(x-k)

2-x

，可化為kx（x-2）＞0．
當k＞0時，不等式的解集為（-∞，0）∪（2，+∞）．（14分）

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求解方法，一元二次不等式的應用，其中（1）的關鍵是根據已知條件構造關于關于a，b的方程組，（2）的關鍵是將原不等式化為一個分式不等式，在解答（2）時，易忽略（x-2）的符號不確定，而錯解為（-∞，0）