Question

某廠2006年擬舉行促銷活動，經調查測算，該廠產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與去年促銷費m（萬元）（m≥0）滿足x=3-

2

m+1

．已知2006年生產的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2006年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費m（萬元）的函數；
（2）求2006年該產品利潤的最大值，此時促銷費為多少萬元？

Answer 1

分析：（I）每件產品的成本為

8+16x

x

元，且x=3-

2

m+1

，則利潤函數y=1.5×

8+16x

x

•x-（8+16x+m），整理即可；
（II）由函數y=28-m-

16

m+1

，構造條件應用基本不等式，可求得函數y的最大值及對應的m值．

解答：解：（I）每件產品的成本為

8+16x

x

元，且x=3-

2

m+1

，則
今年的利潤y=1.5×

8+16x

x

•x-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8(3-

2

m+1

)-m=28-

16

m+1

-m（其中m≥0），
所以，所求的函數為y=28-m-

16

m+1

m≥0；
（II）因為函數y=28-m-

16

m+1

=29-[

16

m+1

+m+1]≤29-2

16 m+1 (m+1)

=21，
當且僅當

16

m+1

=m+1（其中m≥0），即m=3（萬元）時，等號成立；
所以，今年該產品利潤的最大值為21萬元，此時年促銷費為3萬元．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，也考查了利用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求函數的最值問題，是中檔題．