Question

設a＞1，定義，如果對任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7（a＞0且a≠1）恒成立，則實數b的取值范圍是（ ）
A．
B．（0，1）
C．（0，4）
D．（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立這條件轉化化為“f（n）＞t”這個形式，要求t，先求f（n）的最小值，最后就是利用a與b的關系求出b的范圍．
解答：解：由知，，
∴=，∴f（n）是遞增數列．
∴當n≥2時，f（n）的最小值是f（2）=，
要使對任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立，
則滿足12•+7log_ab＞7log_a+1b+7，
即log_ab＞log_a+1b，
即，
∴
∵a＞1，∴lgb＞0，即b＞1．
故選D．
點評：此題考查數列的增減性，及不等式恒成立問題的常規解法，一般都是轉化為求函數的最值來解決．