Question

4．已知二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=x+m有區間（-1，2）上有唯一實數根，求實數的取值范圍（注：相等的實數根算一個）．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系數法，可得f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=x+m有區間（-1，2）上有唯一實數根，則函數h（x）在（-1，2）上有唯一的零點，分類討論，可得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），代入f（x+1）-f（x）=2x，
得2ax+a+b=2x，對于x∈R恒成立，故$\left\{{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}}\right.$，又由f（0）=1，得c=1，
解得a=1，b=-1，c=1，∴f（x）=x²-x+1．
（2）由方程f（x）=x+m得x²-2x+1-m=0，令h（x）=x²-2x+1-m，x∈（-1，2），
即要求函數h（x）在（-1，2）上有唯一的零點，
①h（-1）=0，則m=4，代入原方程得x=-1或3，不符合題意；
②若h（2）=0，則m=1，代入原方程得x=0或2，滿足題意，故m=1成立；
③若△=0，則m=0，代入原方程得x=1，滿足題意，故m=0成立；
④若m≠4且m≠1且m≠0時，由$\left\{{\begin{array}{l}{h（-1）=4-m＞0}\\{h（2）=1-m＜0}\end{array}}\right.$得1＜m＜4．
綜上，實數m的取值范圍是{0}∪[1，4）．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，函數的零點，函數的單調性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．