Question

已知，其中a、b、c為正實數，．
（1）若f（x）=0，求常數a、b、c所滿足的條件；
（2）當a=b=c≠0時，求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=0，把函數解析式通分后，分子去括號合并后，令分子等于0，即可得到a，b及c滿足的關系式；
（2）由a=b=c，把a與b換為c，代入函數解析式，通分后設sinx+cosx=t，兩邊平方后，根據同角三角函數間的平方關系表示出sinxcosx，將表示出的sinxcosx及設出的sinx+cosx代入函數解析式，把函數解析式化為關于t的關系式，由sinx+cosx的范圍求出t的范圍，進而得到（t+1）²的范圍，即可得到函數的值域．
解答：解：（1）由f（x）=0，
可得==0，
得a²+b²-c²=0；
（2）當a=b=c≠0時，y=，
令sinx+cosx=t，sinxcosx=，
∵x∈[0，]，sinx+cosx=sin（x+），
∴t=sinx+cosx∈[1，]，
而y=，（t+1）²在[1，]上是增函數，
∴（t+1）²∈[4，3+2]，
∴函數y=f（x）的值域為[6-4]
點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正弦函數公式，二次函數的性質，以及函數的值域，利用了換元的思想，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．