Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+?）（|φ|＜

π

2

）的圖象如圖所示，
（1）求f（x）；
（2）求使f（x）取最小值的x的集合；
（3）f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象，得到A=1且函數周期T=3π，利用三角函數周期公式算出ω=

2

3

，再根據x=

π

4

時函數有最大值建立關于φ的等式，解之即可得到函數f（x）的表達式；
（2）根據三角函數最值的公式，解關于x的方程

2

3

x+

π

3

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），即得使f（x）取最小值的x的集合；
（3）利用正弦函數的單調區間公式，建立關于x的不等式：-

π

2

+2kπ≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之即可得到f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）由圖象，可得A=1
函數的周期T=2（

7π

4

-

π

4

）=3π，可得

2π

ω

=3π，ω=

2

3

又∵當x=

π

4

時函數有最大值
∴

2

3

•

π

4

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），結合|φ|＜

π

2

取k=0，得φ=

π

3

因此，函數的表達式為f（x）=sin（

2

3

x+

π

3

）；
（2）令

2

3

x+

π

3

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），可得x=-

5π

4

+3kπ（k∈Z），
∴使f（x）取最小值的x的集合為{x|x=-

5π

4

+3kπ，k∈Z}；
（3）令-

π

2

+2kπ≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

5π

4

+3kπ≤x≤

π

4

+3kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區間為[-

5π

4

+3kπ，

π

4

+3kπ]（k∈Z）．

點評：本題給出函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要求確定其解析式并討論函數的單調區間與最值．著重考查了三角函數的圖象與性質和確定三角函數解析式等知識，屬于中檔題．