Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

•橢圓F以A、B為焦點且過點D．
（I）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點E滿足

EC

=

1

2

AB

，是否存在斜率k≠0的直線l與橢圓F交于MN兩點，且|ME|=|NE|，若存在，求K的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）以AB中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，設出橢圓的方程，根據點D在橢圓上，以及c=1，求出 a、b值，即得橢圓F的方程．
（Ⅱ）點斜式設出直線方程代入橢圓的方程，則可得判別式大于0，即4k²-m²+3＞0．由PE⊥MN，斜率之積等于-1，求得m、k間的關系，代入4k²-m²+3＞0 可解得k取值范圍．

解答：解：（I）以AB中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖
則A（-1，0），B（1，0），D(-1，

3

2

)．
設橢圓F的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+1

 得4a⁴-17a²+4=0，∵a²＞1，
∴a²=4，b²=3． 所求橢圓F方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

EC

=

1

2

AB

得 E(0，

1

2

)．
顯然l⊥AB時不合條件，設l方程y=kx+m（k≠0）代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
l與橢圓F有兩不同公共點的充要條件是△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即4k²-m²+3＞0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點為P（x₀，y₀），|ME|=|NE|等價于PE⊥MN，
∵2x0=x1+x2=

-8km

3+4k2

，∴x0=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

6m

3+4k2

．
PE⊥MN，得

y0- 1 2

x0

=-

1

k

，得

6m 3+4k2 - 1 2

-4km 3+4k2

=-

1

k

，得m=-

3+4k2

2

．
代入△＞0得 4k2+3-(

4k2+3

2

)2＞0，∵0＜4k²+3＜4 得 k2＜

1

4

．
又∵k≠0，故k取值范圍為k∈(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)．

點評：本題考查橢圓的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，體現了數形結合的思想，式子的化簡變形是解題的易錯點．