Question

（坐標系與參數方程選做題） 如圖，AB是半徑為1的圓的一條直徑，C是此圓上任意一點，作射線AC，在AC上存在點P，使得AP•AC=1，以A為極點，射線AB為極軸建立極坐標系，則圓的方程為

ρ=2cosθ

、動點P的軌跡方程為

ρcosθ=

1

2

．

Answer 1

分析：由題意，設C（ρ，θ），則AC=ρ，∠CAB=θ，根據AB是半徑為1的圓的一條直徑，即可得圓的方程為ρ=2cosθ，P隨著C的運動而運動，而C在圓上動，動點之間的關系是AP•AC=1，由此可得動點P方程．

解答：解：由題意，設C（ρ，θ），則AC=ρ，∠CAB=θ，
∵AB是半徑為1的圓的一條直徑
∴cosθ=

ρ

2

∴圓的方程為ρ=2cosθ，
設C（ρ，θ），P（ρ′，θ），則ρ=2cosθ，
∵AP•AC=1
∴ρ′ρ=1
∴動點P方程為ρ′cosθ=

1

2

．
即ρcosθ=

1

2

．
故答案為：ρ=2cosθ；ρcosθ=

1

2

．

點評：本題以圓為載體，考查圓的極坐標方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關鍵是設點，列式．