Question

19、設函數f（x）對任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0．
（1）證明：f（x）為奇函數；　　　　　
（2）證明：f（x）在R上為減函數．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性定義進行判定，該函數是抽象函數，故可利用賦值法進行，令x=y=0求出f（0）=0，令y=-x，即可得到結論；
（2）根據題意先證明單調性，用單調性定義，先設設x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）再由x＞0時，f（x）＜0來判斷符號，從而得到函數的單調性．

解答：證明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y）　　
令x=y=0得  f（0）=0
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0∴f（x）為奇函數．
（2）設x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂
∵x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0
由（1）知f（x）為奇函數
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上為減函數

點評：本題考查的是抽象函數，涉及到其單調性，解決這類問題關鍵是利用好條件，將問題轉化到函數性質的定義上去應用．