Question

【題目】如圖，在正方體中，作棱錐，其中點在側棱所在直線上，，，是的中點.

（1）證明：平面;

（2）求以為軸旋轉所圍成的幾何體體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)本題首先可以連接交于并連接，然后根據是的中位線得出，即可根據線面平行的判定證得平面；

(2)本題首先可以過作的垂線并令垂足為，然后根據題意得出幾何體的形狀，再然后求出與的長，最后根據圓錐的體積公式即可得出結果.

(1)如圖，連接交于，連接，

因為四邊形是正方形，所以為中點，

因為為的中點，所以是的中位線，，

因為包含于平面，不包含于平面，

所以平面，

(2)如圖，過作的垂線，垂足為，則以為軸旋轉所圍成的幾何體是以為半徑并且分別以、為高的兩個圓錐的旋轉體，

因為側棱底面，包含于底面，所以，

因為，，所以，

因為，所以，

所以以為軸旋轉所圍成的幾何體體積為.