Question

已知函數f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，且f(x)＝x無實根，下列命題中：

    （1）方程f [f (x)]＝x一定無實根；

    （2）若a＞0，則不等式f [f (x)]＞x對一切實數x都成立；

    （3）若a＜0，則必存在實數x₀，使f [f (x₀)]＞x₀；

    （4）若a＋b＋c＝0，則不等式f [f (x)]＜x對一切x都成立；

    正確的序號有          ．

Answer 1

（1）（2）（4） 【解析】本題是關于以二次函數為基礎的復合函數問題，由條件可知二次函數圖象與直線無交點：（1）顯然正確；在a＞0的情況下，函數f(x)是開口向上的拋物線，與直線y＝x沒有交點情況下恒有f [ f(x)]＞x，對一切實數成立是正確的，即（2）也正確；  由前分析知（3）顯然錯誤；由a＋b＋c＝0可知兩個同號，另一個與他們異號，又由f(x)＝x無實根可得：4ac＞(b－1)²，從而有a，c同號，所以（4）正確．本題考查函數的根的問題與構成的不等式問題，對這種問題數形結合分析有助于理解，考題中此類型題屬于難題，近來高考題中出現得越來越少了．