Question

平面上有n個圓和直線l，任意兩個圓都相交，直線l也與這n個圓相交，記所有交點數的最大值為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

an

，Sn=b1b3+b2b4+b3b5+…+bnbn+2，求最大的正整數K的值，使對任意的n，都有kS_n＜2005．

Answer 1

分析：（1）由題設知a_n+1=a_n+2n+2，a₁=2，由此能求出a_n=n（n+1）．
（2）用裂項法可得Sn=

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

，由KSn＜2005得K(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＜2005．由此入手能求出K_max．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+2，
a₁=2，
∴a_n=n（n+1）．
（2）用裂項相消法可得Sn=

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

，
由KSn＜2005得K(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＜2005，
令K′•

1

18

=2005，得K′=36090，則Kmax=36090，否則當Kmax=36091時
36091(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)=2005+(

1

18

-

36091

3(n+1)(n+2)(n+3)

)，
由于n是任意整數，總存在n0使得

1

18

-

36091

3(n+1)(n+2)(n+3)

＞0，
從而有36091(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＞2005，故K=36091不滿足條件，
所以K_max=36091．

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．