Question

如圖，已知三棱錐A-BCD的底面是等邊三角形，三條側棱長都等于1，且∠BAC=30°，M，N分別在棱AC和AD上．
（1）將側面沿AB展開在同一個平面上，如圖②所示，求證：∠BAB′=90°．
（2）求BM+MN+NB的最小值．
（3）當BM+MN+NB取得最小值時，證明：CD∥平面BMN

Answer 1

解：（1）證明：由題意可得 AB=AC=AD，BC=CD=DB，∴△ABC≌△ACD≌△ABD，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAB=30°，∠BAB^′=90°．
（2）由（1）可知，將側面沿AB展開在同一個平面上，連接BB′（9分）
交AC，AD于點M，N　得BM+MN+NB′取最小值，最小值為：2BB′=AB=．（12分）
（3）當BM+MN+NB′取得最小值時，B、M、N、B′四點共線，
∠AMN=∠ABM+∠BAC=45°+30°=75°．
在等腰三角形ACD中，由于∠CAD=30°∴∠ACD===75°，
故∠AMN=∠ACD，根據同位角相等，兩直線平行可得 MN∥CD．
而MN?平面BMN，CD不在平面BMN 內，∴CD∥平面BMN．
分析：（1）由題意可得 AB=AC=AD，BC=CD=DB，可得△ABC≌△ACD≌△ABD，可得∠BAC=∠CAD=∠DAB=30°，從而有∠BAB¹=90°．
（2）由（1）可知，將側面沿AB展開在同一個平面上連接BB′交AC，AD于點M，N　得BM+MN+NB′取最小值，最小值為：2BB′=AB．
（3）當BM+MN+NB′取得最小值時，B、M、N、B′四點共線，由∠AMN=∠ABM+∠BAC=45°+30°=75°，∠ACD===75°，可得∠AMN=
∠ACD，可得 MN∥CD，再由直線和平面平行的判定定理證得 CD∥平面BMN．
點評：本題考查證明直線和平面平行的判定方法，棱錐的結構特征，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．