Question

如圖，四面體P-ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°．一只螞蟻從A點出發沿四面體的表面繞一周，再回到A點，問螞蟻經過的最短路程是

2

2

．

Answer 1

分析：將四面體P-ABC的側面沿PA剪下再展開，得五邊形PABCA'如圖，可得∠A'PA=90°，且A、A'的距離等于2

2

，再將此展開圖圍成四面體P-ABC的側面，得到折線AD-DE-EA，得線段AD、DE、EA的和即為螞蟻從A點出發回到A點的最短路程．

解答：解：將四面體P-ABC的側面沿PA剪下再展開，得到如圖所示五邊形（左圖）


∵四面體P-ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°
∴展開圖中∠A'PA=3×30°=90°
連接AA'，得Rt△AA'P中，AA'=

PA2+PA′2

=2

2

再將此展開圖圍成四面體P-ABC的側面，得到折線AD-DE-EA
∵AA'=AD+DE+EA，
∴螞蟻從A點出發，沿AD-DE-EA的路線行走，可得回到A點的最短路程
因此，螞蟻從A點出發，回到A點的最短路程為2

2

故答案為：2

2

點評：本題給出四面體，求螞蟻從側面走一周回到出發點所走的最短路程，著重考查了解三角形和用側面展開法求多面體表面上的最短距離問題的知識，屬于中檔題．