Question

18．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）斜率為1的直線l，交橢圓M于不同的點A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓經過原點O．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據斜率公式以及點在橢圓上，即可求出a²=3，b²=$\frac{3}{4}$，得到橢圓的方程，
（2）設直線l的方程為y=x+m，將y=x+m代入x²+4y²=3，并整理得5x²+8xm+4m²-3=0，根據韋達定理以及由題意可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即可得到關于m的方程，解得即可．

解答 解：（1）由e²=$\frac{3}{4}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴a=2b，
又點（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
∴a²=3，b²=$\frac{3}{4}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}$=1，
（2）設直線l的方程為y=x+m，將y=x+m代入x²+4y²=3，并整理得5x²+8xm+4m²-3=0，
則△=（8m）²-20（4m²-3）＞0，解得-$\frac{\sqrt{15}}{2}$＜m＜$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-3}{5}$，
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
由題意可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
∴2•$\frac{4{m}^{2}-3}{5}$+m•（-$\frac{8m}{5}$）+m²=0，
解得m=±$\frac{\sqrt{30}}{5}$，此時m（-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
∴直線l的方程為y=x±$\frac{\sqrt{30}}{5}$

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量垂直的合理運用．