Question

ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，

π

3

＜C＜

π

2

，且

b

a-b

=

sin2C

sinA-sin2C

．
（1）判斷△ABC的形狀
（2）若|

BA

+

BC

|=2，求

BA

•

BC

的取值范圍、

Answer 1

分析：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的數量積運算，向量的模等知識點．
（1）要判斷△ABC的形狀，我們可由

b

a-b

=

sin2C

sinA-sin2C

，結論正弦定理邊角互化的原則，將式子中邊全部化為對應角的正弦值，然后根據兩角和與差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因為

π

3

＜C＜

π

2

，我們易判斷三角形的形狀．
（2）由|

BA

+

BC

|=2，兩邊平方后，根據（1）的結論，我們可求出B的表達式及取值范圍，進而求出

BA

•

BC

的取值范圍．

解答：解：（1）

b

a-b

=

sin2C

sinA-sin2C

?

sinB

sinA-sinB

=

sin2C

sinA-sin2C

?sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
?sinB=sin2C，
因為

π

3

＜C＜

π

2

，
所以B=π-2C?B+C=π-C?π-A=π-C?A=C
即△ABC為等腰三角形．
（2）因為|

BA

+

BC

|=2?(|

BA

+

BC

|)2=4?a2+c2+2accosB=4又A=C?a=c
所以cosB=

2-a2

a2

，
而cosB=-cos2C，

π

3

＜C＜

π

2

所以

1

2

＜cosB＜1?1＜a2＜

4

3

BA

•

BC

=cacosB=a2cosB=2-a2∈(

2

3

，1)

點評：要根據某個恒成立的三角函數關系式，判斷三角形的形狀，一般的思路是分析角與角的關系，如果有三個角相等，則為等邊三角形；如果只能得到兩個角相等，則為普通的等腰三角形；如果兩個角和為90°，或一個角為90°，則為直角三角形．