Question

己知直線L：y=k(x－1),雙曲線x²－y²=4, 試討論實數k的取值范圍。

(1)直線L與雙曲線有兩個公共點；

(2)直線L與雙曲線有且只有一個公共點；

(3)直線L與雙曲線沒有公共點。

Answer 1

答案：
解析：

解：由消去y，得 （1－k2）x2+2k2x－k2－4=0。 (1)當1－k2=0即k=±1時，直線L與雙曲線的漸近線平行， 以上方程化為2x=5，只有一個實數解，即直線與雙曲線相交，且只有一個交點。 (2)當1－k2≠0，即k≠±1時， △=（2k2）2－4(1－k2)(－k2－4) =4(4－3k2)。 (ⅰ)即－<k<且k≠±1時，直線與雙曲線有兩個公共點； （ⅱ）即k=±時，直線與雙曲線只有一個公共點； （ⅲ）即k<－或k>時，直線與雙曲線無公共點。 綜上所述，當－<k<－1或－1<k<1或1<k<時，直線與雙曲線有兩個公共點； 當k=±1或k=±時，直線與雙曲線有且只有一個公共點； 當k<－或k>時，直線與雙曲線無公共點。