Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足f（0）=f（x₁）=f（x₂）=0，且0＜x₁＜x₂．若f（x）在（x₂，+∞）上是增函數，則b的取值范圍是______．

Answer 1

∵f（0）=0∴d=0，∴f（x）=ax³+bx²+cx=x（ax²+bx+c），又f（x₁）=f（x₂）=0，且0＜x₁＜x₂，∴x₁，x₂是ax²+bx+c=0兩根，且a≠0．
由韋達定理x₁+x₂ =-

b

a

＞0，①
∴f（x）=ax³+bx²+cx+d的大致圖象為：
當a＞0時


由圖，f（x）在（x₂，+∞）上是增函數，由①得，b＜0
②當a＜0時，


f（x）在（x₂，+∞）上不是增函數，不合題意．
故答案為：b＜0