Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=BB₁=2，D點為棱AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁
（2）求BB₁與平面CDB₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）證明線面平行，只需證明AC₁平行于平面CDB₁內的一條直線，利用三角形的中位線可證；
（2）先證明平面CDB₁⊥ABB₁A₁，過B作BE⊥B₁D，則∠BB₁E是BB₁與平面CDB₁所成角，從而可求BB₁與平面CDB₁所成角的正切值．

解答：（1）證明：連接BC₁交B₁C于M，連接DM
∴M是B₁C的中點
∵D是AB的中點，∴MD∥AC₁，
又MD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D點為棱AB的中點．
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面CDB₁．
∴平面CDB₁⊥ABB₁A₁，
過B作BE⊥B₁D，∵平面CDB₁∩ABB₁A₁=B₁D
∴BE⊥平面CDB₁．
∴∠BB₁E是BB₁與平面CDB₁所成角
∵BB₁⊥BD
∴△BEB₁∽△DBB₁，
由BD=

1

2

AB=1，BB1=2得tan∠BB1E=

1

2

即BB₁與平面CDB₁所成角的正切值為

1

2

點評：本題重點考查線面平行，考查線面角，解題的關鍵是正確運用線面平行的判斷，正確找出線面角，綜合性強．