Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，求證恒成立.

Answer 1

【答案】(1) 或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；； 時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn).

(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）求出k=，令g（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，通過(guò)討論k的范圍，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為e1﹣x+2f（x）﹣2﹣x=2lnx﹣x+e1﹣x≤0，令g（x）=2lnx﹣x+e1﹣x，令h（x）=2﹣x﹣xe1﹣x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；

（1）由已知∵，∴

令

單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減

∴

綜上， 或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；； 時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn).

（2）證明：要證，即證

令

令

，

令，

即，∴單調(diào)遞減.

單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減， ，綜上: