Question

已知函數(shù)f（x）=x•lnx，
（1）求函數(shù)所對應(yīng)曲線在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得f（1）與f′（1），從而由直線的點斜式可得函數(shù)所對應(yīng)曲線在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）通過f′（x）＞0可求其遞增區(qū)間，通過f′（x）＜0可求其單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=x•lnx，x＞0，
∴f′（x）=x′•lnx+x（lnx）′=lnx+1，x＞0，
又f（1）=ln1=0，
k=f′（1）=ln1+1=1，
∴所求切線方程為y-0=1×（x-1），即x-y-1=0；
（2）∵f′（x）=lnx+1，x＞0，
解f′（x）=0得：x=

1

e

，
當x∈（0，

1

e

）時，f′（x）＜0；
當x∈（

1

e

，+∞）時，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）=x•lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

e

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

e

）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于中檔題．