Question

向量m=（sinωx+cosωx，cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函數f（x）=m•n+t，若f（x）圖象上相鄰兩個對稱軸間的距離為，且當x∈[0，π]時，函數f（x）的最小值為0．
（1）求函數f（x）的表達式，并求f（x）的增區間；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cos B+cos（A-C），求sin A的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個向量的數量積公式，二倍角公式，化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2ωx+）+t，根據周期性和最小值，
求出ω 和 t 的值，即得函數的解析式為，由，求得x的范圍，就是f（x）的增區間．
（2）據f（C）=1，求得C=，A+B=，再由 2sin²B=cos B+cos（A-C），可得 2 cos²A=sinA+sinA，解出sinA 的值．
解答：解：（1）函數f（x）=m•n+t=cos2ωx+sin2ωx+t=2sin（2ωx+）+t，由 =，
ω=，∴f（x）=．當x∈[0，π]時，，
函數f（x）的最小值為 1+t=0，∴t=-1，∴．
由 ，k∈z，可得   3kπ-π≤x≤3kπ+，
故f（x）的增區間為   ，k∈z．
（2）∵f（C）=1=2sin（ ）-1，∴sin（ ）=1，由 0＜C＜π 可得，，
 ＜＜，∴=，C=，A+B=． 
又  2sin²B=cos B+cos（A-C），∴2 cos²A=sinA+sinA，∴．
點評：本題考查兩個向量的數量積公式，二倍角公式，兩角和正弦公式，正弦函數的單調性，定義域和值域，根據三角函數的值求角，求出函數f（x）的 解析式，是解題的關鍵．