Question

（2013•寶山區二模）某同學為了研究函數f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

 (0≤x≤1)的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則f（x）=AP+PF．那么，可推知方程f(x)=

22

2

解的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：由題意可得當A、P、F共線，即x=

1

2

時，f（x）取得最小值為

5

＜

22

2

，當P與B或C重合，即x=1或0時，f（x）取得最大值為

2

+1＞

22

2

．由此作出函數的圖象可得答案．

解答：解：由題意可得函數f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，
當A、P、F共線，即x=

1

2

時，f（x）取得最小值為

5

＜

22

2

，
當P與B或C重合，即x=1或0時，f（x）取得最大值為

2

+1＞

22

2

．
故函數f（x）的圖象應如圖所示：
而方程f(x)=

22

2

解的個數就是函數f（x）與y=

22

2

的圖象交點的個數，
故方程f(x)=

22

2

解的個數應為2
故選C

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，體現了化歸與轉化的數學思想，屬中檔題．