Question

已知函數f（x）=a•2^x-b•3^x，其中常數a，b滿足ab≠0．
（1）若ab＜0，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若lna+lnb=2ln（2a-3b），求f（x+1）-f（x）＞0時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由ab＜0，說明a，b異號，根據指數函數在底數大于1時為增函數可得y=a•2^x和y=-b•3^x的單調性，然后由在相同區間內增函數的和為增函數，減函數的和為減函數可得函數f（x）的單調性；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b）得到a和b的關系式，把f（x）和f（x+1）代入不等式f（x+1）-f（x）＞0，整理后由a和b的關系式消掉a，b，然后求解指數不等式即可得到f（x+1）-f（x）＞0時x的取值范圍．

解答：解：（1）由ab＜0，得a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．
∵函數y=2^x和y=3^x是實數集上的增函數，
∴當a＞0，b＜0時，函數y=a•2^x為增函數，y=-b•3^x也為增函數，
則函數f（x）=a•2^x-b•3^x是實數集上的增函數；
當a＜0，b＞0時，函數y=a•2^x為減函數，y=-b•3^x也為減函數，
則函數f（x）=a•2^x-b•3^x是實數集上的減函數；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b），得：a＞0，b＞0，2a＞3b．
且lnab=ln（2a-3b）²，∴ab=（2a-3b）²，即4a²-13ab+9b²=0．
∴（a-b）（4a-9b）=0，解得：a=b，或4a=9b．
∵a＞0，b＞0，2a＞3b，∴a=b不符合，則4a=9b，∴a=

9

4

b．
由f（x+1）-f（x）＞0，得：a•2^x+1-b•3^x+1-a•2^x+b•3^x=a•2^x-2b•3^x＞0．
把a=

9

4

b代入上式得：

9

4

b•2x-2b•3x＞0，
又b＞0，∴

9

4

×2x-2×3x＞0，即(

2

3

)x＞

8

9

，解得：x＞log

2

3

8

9

=2+log

2

3

2．
所以，f（x+1）-f（x）＞0時x的取值范圍是(2+log

2

3

2，+∞)．

點評：本題考查了函數單調性得判斷與證明，考查了對數式的性質，考查了指數不等式得求解方法，解答此題的關鍵是由已知的等式找出a，b的關系式，是中檔題．