Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0處取得極值，且過原點，曲線y=f（x）在P（-1，2）處的切線l的斜率是-3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，數m的取值范圍；
（3）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函數圖象過原點求出d的值，由f^′（0）=0求出c的值，再由曲線y=f（x）在P（-1，2）處的切線l的斜率是-3，列關于a，b的方程組，解方程組求解a，b的值，則函數解析式可求；
（2）求出函數的導函數，由導函數的符號判斷函數的單調區間，根據y=f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，說明區間[2m-1，m+1]是求出的函數增區間的子集，由集合的關系分類列關于m的不等式組，則m的取值范圍可求；
（3）利用函數的單調性求出函數f（x）在區間[-1，1]內的最值，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|恒小于等于最大值與最小值差的絕對值，由此可以求得使不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立的m的最小值．

解答：解：（1）∵曲線y=f（x）過原點，∴d=0．
由f（x）=ax³+bx²+cx+d，得：f'（x）=3ax²+2bx+c，
又x=0是f（x）的極值點，∴f'（0）=0，∴c=0，
∵過點P（-1，2）的切線l的斜率為f'（-1）=3a-2b，
由

f(-1)=2 f′(-1)=-3

，得：

-a+b=2 3a-2b=-3

，解得：

a=1 b=3

．
故f（x）=x³+3x²；
（2）f'（x）=3x²+6x=3x（x+2），
令f'（x）＞0，即x（x+2）＞0，∴x＞0或x＜-2
∴f（x）的增區間為（-∞，-2]和[0，+∞）．
∵f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，∴[2m-1，m+1]⊆（-∞，-2]或[2m-1，m+1]⊆[0，+∞）；   
∴

m+1≤-2 2m-1＜m+1

或

2m-1≥0 2m-1＜m+1

．
解得：m≤-3或

1

2

≤m＜2；
（3）由（2）知，函數f（x）在[-1，0]上為減函數，在（0，1]上為增函數．
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4，∴f（x）在區間[-1，1]上的最大值M為4，最小值N為0，
故對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤M-N=4-0=4，
要使對任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，則m≥4．
所以，m最小值為4．

點評：本題考查了函數解析式的常用求法，考查了函數在某點處取得極值的條件，注意的是極值點處的導數等于0，考查了函數在某點處切線的斜率與該點處導數的關系，函數在某一區間內任意兩點的函數值的差的絕對值，一定小于等于函數在該區間內最大值與最小值差的絕對值．此題是中檔題．