Question

（1）已知兩個等比數列{a_n}，{b_n}，滿足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若數列{a_n}唯一，求a的值；
（2）是否存在兩個等比數列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 為0的等差數列？若存在，求{a_n}，{b_n}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，根據等比數列的通項公式，由b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3表示出b₁，b₂，b₃，根據b₁，b₂，b₃成等比數列，再根據等比數列的通項公式得到等比數列{a_n}的首項與公比的關系式，把q看作未知數，根據a大于0得出根的判別式大于0，進而得到方程有兩個不同的實根，又數列{a_n}唯一，得到方程必有一根為0，把q=0代入方程即可得到關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）利用反證法進行證明，假設存在，分別設出兩等比數列的公比，根據等差數列的通項公式，b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不為0的等差數列，列出關系式，化簡后分別求出兩等比數列的首項及公比，分別求出b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄的公差為0，與已知的公差不為0矛盾，假設錯誤，進而得到不存在兩個等比數列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 為0的等差數列．

解答：解：（1）設{a_n}的公比為q，
∵a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，
∴b₁=1+a，b₂=2+aq，b₃=3+aq²，
∵b₁，b₂，b₃成等比數列，
∴（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）即aq²-4aq+3a-1=0，
∵a＞0，
∴△=4a²+4a＞0，
∴方程有兩個不同的實根，
又∵數列{a_n}唯一，
∴方程必有一根為0，將q=0代入方程得a=

1

3

，
∴a=

1

3

；
（2）假設存在兩個等比數列{a_n}，{b_n}，使b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不為0的等差數列，
設{a_n}的公比為q₁，{b_n}的公比為q₂，
則b₂-a₂=b₁q₂-a₁q₁，b₃-a₃=b₁q₂²-a₁q₁²，b₄-a₄=b₁q₂³-a₁q₁³，
由b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成的等差數列得：

2(b1q2-a1q1)=b1-a1+(b1q22-a1q12)         2(b1q22-a1q12)=b1q2-a1q1+(b1q23-a1q13)

即

b1(q2-1)2-a1(q1-1)2=0① b1q2(q2-1)2-a1q1(q1-1)2=0②

，
①×q₂-②得：a₁（q₁-q₂）（q₁-1）²=0，
由a₁≠0得：q₁=q₂或q₁=1，
（i）當q₁=q₂時，由①，②得b₁=a₁或q₁=q₂=1，這時（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0與公差不為0矛盾；
（ii）q₁=1時，由①，②得b₁=0或q₂=1，這時（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0與公差不為0矛盾，
綜上所述，不存在兩個等比數列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不為0的等差列．

點評：此題考查學生靈活運用等比數列的通項公式及等比數列的性質化簡求值，會利用反證法說明命題的真假，是一道中檔題．