Question

已知函數f（x）=asinx+bcosx的圖象經過點(

π

6

，0)，(

π

3

，1)．
（I）求實數a、b的值；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求函數f（x）的最大值及此時x的值．

Answer 1

分析：（I）根據函數圖象通過點(

π

6

，0)，(

π

3

，1)．得到方程組，然后求實數a、b的值；
（II）化簡函數f（x）為：f(x)=2sin(x-

π

6

)，利用x∈[0，

π

2

]，求出x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，然后求函數f（x）的最大值及此時x的值．

解答：解：（I）∵函數f（x）=asinx+bcosx的圖象經過點(

π

6

，0)，(

π

3

，1)，
∴

1 2 a+ 3 2 b=0 3 2 a+ 1 2 b=1

（4分）
解得：a=

3

，b=-1（5分）
（II）由（I）知：f(x)=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)8分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，（9分）
∴當x-

π

6

=

π

3

，即x=

π

2

時，f（x）取得最大值

3

．（12分）

點評：本題考查三角函數的最值，函數解析式的求解及待定系數法，考查計算能力，利用基本三角函數的最值，求三角函數的最值是常用方法．本題是基礎題．