Question

函數f（x）=x²-bx+c滿足f（0）=3，且它的對稱軸為x=1．
求：（1）函數f（x）的解析式；
（2）f（x）的單調區間；
（3）f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=3，且它的對稱軸為x=1，代入可求c，b，進而可求函數的解析式
（2）對函數進行配方可得，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，根據二次函數的性質可求單調區間
（3）由二次函數的性質可知，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，可求最小值

解答：解：（1）∵f（x）=x²-bx+c滿足f（0）=3，且它的對稱軸為x=1
∴c=3，b=2
∴f（x）=x²-2x+3
（2）∵f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
根據二次函數的性質可得，單調減區間是（-∞，1]，單調減區間是[1，+∞）
（3）∵f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2
∴函數的最小值為2．

點評：本題主要考查了二次函數的解析式的求解及二次函數的性質：對稱性、單調性及值域的求解，屬于基礎試題