Question

已知函數f（x）=log_a（8-2^x）（a＞0且a≠1）
（1）若函數f（x）的反函數是其本身，求a的值；
（2）當a＞1時，求函數y=f（x）+f（-x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出反函數的解析式，利用反函數和原函數的解析式相同，求出a的值．
（2）當a＞1時，先求出函數的定義域，化簡函數的解析式，利用基本不等式求出最值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=log_a（8-2^x），∴8-2^x =a^f（x），x=

log

(8-ay) 2

，
故反函數為 y=

log

(8-ax) 2

，∴log_a（8-2^x）=

log

(8-ax) 2

，∴a=2．
（2）當a＞1時，由題意知，8-2^x＞0，∴x＜3，函數y=f（x）+f（-x）的定義域（-3，3），
函數y=f（x）+f（-x）=log_a（8-2^x）+

log

(8-2-x) a

=

log	(65-8(2x+2-x)) a

，
∴2^x+2^-x≥2，當且僅當x=0時，取等號．∴0＜65-8（2^x+2^-x ）≤49，
當a＞1時，函數y=f（x）+f（-x）在x=0處取得最大值log_a49．

點評：本題考查求函數的反函數的方法，對數式的運算性質，基本不等式的應用．