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設函數f(x)=lnx-px+1.
(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間;
(Ⅱ)當p>0時,若對任意的x>0,恒有f(x)≤0,求p的取值范圍.

解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx-px+1,
∴f(x)的定義域為(0,+∞),(2分)
當p≤0時,f'(x)>0,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞)(3分)
當p>0時,令f'(x)=0,∴x=∈(0,+∞),f'(x)、f(x)隨x的變化情況如表:
f(x)的單調遞增區間為,單調遞減區間為(6分)
(Ⅱ)當p>0時在處取得極大值,此極大值也是最大值,
要使f(x)≤0恒成立,只需
,p≥1
∴p的取值范圍為[1,+∞)(12分)
分析:(I)先求函數的定義域,對函數求導,分別解f′(x)>0,f′(x)<0
(II)結合(I)p>0時函數f(x)的單調性,求函數f(x)的最大值,對任意的x>0,恒有f(x)≤0?f(x)max≤0,代入求解p的取值范圍.
點評:本題考查了導數的應用:求函數的單調區間,求函數的極值,在求解中不能忽略了對函數定義域的判定,當函數中含有參數時,要注意對參數的分類討論,本題又考查了函數的恒成立問題,這也是高考在導數部分的重點考查的知識點.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=ln(x+a)+x2
(I)若當x=-1時,f(x)取得極值,求a的值,并討論f(x)的單調性;
(II)若f(x)存在極值,求a的取值范圍,并證明所有極值之和大于ln
e2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(Ⅰ)設函數f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,證明:當x>0時,f(x)>0;
(Ⅱ)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張,然后放回,用這種方式連續抽取20次,設抽得的20個號碼互不相同的概率為P.證明:P<(
9
10
)
19
1
e2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•楊浦區一模)設函數f(x)=ln(x2-x-6)的定義域為集合A,集合B={x|
5x+1
>1}.請你寫出一個一元二次不等式,使它的解集為A∩B,并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=ln(x+a)+x2(a>
2
)

(1)若a=
3
2
,解關于x不等式f(e
x
-
3
2
)<ln2+
1
4

(2)證明:關于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解,且f(m)和f(n)分別是函數f(x)的極小值和極大值(m,n為該方程兩根,且m>n).

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=ln(x+a)+2x2
(1)若當x=-1時,f(x)取得極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,方程ln(x+a)+2x2-m=0恰好有三個零點,求m的取值范圍;
(3)當0<a<1時,解不等式f(2x-1)<lna.

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