Question

21、已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合開(kāi)口方向可知再對(duì)稱(chēng)軸處取最小值，在離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取最大值；
（2）要使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，只需當(dāng)區(qū)間[-5，5]在對(duì)稱(chēng)軸的一側(cè)時(shí)，即滿足條件．

解答：解：（1）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，
其對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2，
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=1-2+2=1；
當(dāng)x=-5時(shí)，即當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）的最大值是37，最小值是1．（6分）
（2）當(dāng)區(qū)間[-5，5]在對(duì)稱(chēng)軸的一側(cè)時(shí)，
函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)．所以-a≤-5或-a≥5，
即a≥5或a≤-5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]∪[5，+∞）時(shí)，
函數(shù)在區(qū)間[-5，5]上為單調(diào)函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，以及單調(diào)性的運(yùn)用等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分析問(wèn)題的能力．