Question

設函數y＝f(x)的定義域為R，且對于任意x₁，x₂∈R，都有f(x₁＋x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，又當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－．求函數y＝f(x)在區間[－4，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：由題意知，對于任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)　① 　　在①中，令x1＝x2＝0，可得f(0)＝0． 　　在①中，令x1＝x，x2＝－x，可得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)． 　　設x1，x2∈R且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． 　　因為x2－x1＞0，由題設知f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函數y＝f(x)在R上是減函數，因此在區間[－4，4]上，有f(4)≤f(x)≤f(－4)． 　　又因為f(1)＝－，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝－1，f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)＝－2，則f(－4)＝－f(4)＝2． 　　故在區間[－4，4]上函數y＝f(x)的最大值為2，最小值為－2． 　　點評：(1)求解有關抽象函數的問題時，賦值法是常用的方法，給自變量x賦以一些特殊的數值，構造出含有某個函數值的方程，通過解方程使問題獲解； 　　(2)根據函數的單調性求函數的最值是常用方法之一，如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上是增(或減)函數，那么函數y＝f(x)在區間[a，b]上的最大值為f(b)〔或f(a)〕，最小值為f(a)[或f(b)]．

提示：

問題中的函數解析式沒有給出，求最值應從哪里入手呢？只要知道了函數的單調性，問題也就迎刃而解了．