Question

已知點P為拋物線y²=2x上的動點，則點P到直線y=x+2的距離的最小值為

3 2

4

．

Answer 1

分析：求出與直線y=x+2平行且與拋物線y²=2x相切的直線方程，然后由兩條平行線間的距離公式求解．

解答：解：如圖，
設與直線y=x+2平行的直線方程為y=x+m．
聯立

y=x+m y2=2x

，得x²+（2m-2）x+m²=0．
由△=（2m-2）²-4m²=0，得m=

1

2

．
所以與直線y=x+2平行且與拋物線y²=2x相切的直線方程為y=x+

1

2

．
由兩平行線間的距離公式得：d=

|2- 1 2 |

12+(-1)2

=

3 2

4

．
所以點P到直線y=x+2的距離的最小值為

3 2

4

．
故答案為

3 2

4

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了兩條平行線間的距離的求法，是中檔題．