Question

已知f（x）=|ax+1|（a∈R）|，
（1）a=2時(shí)解不等式f（x）≤3；
（2）若|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）轉(zhuǎn)化絕對(duì)值不等式為二次不等式，直接求解即可．
（2）令g（x）=|f(x)-2f(

x

2

)|，|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，等價(jià)于k≥g（x） _max，利用絕對(duì)值不等式，求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=2時(shí)解不等式f（x）≤3化為|2x+1|≤3，
∴-3≤2x+1≤3，
∴-2≤x≤1．
∴解不等式f（x）≤3的解集為[-2，1]．
（2）令g（x）=|f(x)-2f(

x

2

)|=||ax+1|-2|

a

2

x+1||=||ax+1|-|ax+2||，
|f(x)-2f(

x

2

)|≤k，只需k≥g（x）_max
g（x）=||ax+1|-|ax+2||≤|（ax+1）-（ax+2）|=1，
∴g（x）的最大值為1．
故k的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．