Question

已知函數f（x）滿足f（1）=a，且f（n+1）=

f(n)-1 f(n) ，f(n)＞1 2f(n)，f(n)≤1

，若對任意的n∈N^*，總有f（n+3）=f（n）成立，則a在（0，1]內的可能值有

2

個．

Answer 1

分析：欲求出對任意的n∈N*總有f（n+3）=f（n）成立時a在（0，1]內的可能值，只須考慮n=1時，使得方程f（4）=f（1）的a在（0，1]內的可能值即可．對a進行分類討論，結合分段函數的解析式列出方程求解即可．

解答：解：∵0＜a≤1，
∴f（2）=2f（1）=2a，
①當0＜a≤

1

4

時，0＜2a≤

1

2

，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此時f（4）=f（1）不成立．
②當

1

4

＜a≤

1

2

時，

1

2

＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=

f(3)-1

f(3)

=

4a-1

4a

，
此時f（4）=f（1），

4a-1

4a

=a，解得a=

1

2

；
③當

1

2

＜a≤1時，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=

f(2)-1

f(2)

=

2a-1

2a

≤

1

2

，
∴f（4）=2f（3）=

2a-1

a

，
此時f（4）=f（1），得

2a-1

a

=a，解得a=1．
綜上所述，當n=1時，有f（n+3）=f（n）成立時，
則a在（0，1]內的可能值有兩個：a=

1

2

或a=1．
故答案為：2．

點評：本題主要考查分段函數、函數恒成立問題、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想．