Question

若直線y=3x+1是曲線y=x³-a的一條切線，求實數a的值．

Answer 1

設切點為P（x₀，y₀），
對y=x³-a求導數是y'=3x²，∴3x₀²=3．∴x₀=±1．
（1）當x=1時，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x³-a上，
∴4=1³-a．∴a=-3．
（2）當x=-1時，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×（-1）+1=-2，即P（-1，-2）．
又P（-1，-2）也在y=x³-a上，
∴-2=（-1）³-a．∴a=1．
綜上可知，實數a的值為-3或1．