Question

已知函數f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，求實數a、b的值；
（2）在（1）的條件下，證明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內實根的個數（e為自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

b

x

，g'（x）=2ax-1，利用曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，能求出實數a、b的值．
（2）設F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0，則F′(x)=

1

x

-2x+1=

-(2x+1)(x-1)

x

，由此推導出F（x）最大值為F（1）=0．從而能夠證明f（x）≤g（x）．
（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e，知f（x）-g（x）=x轉化為blnx-x²=0，令G（x）=blnx-x²，則G′(x)=

b-2x2

x

，由此能夠推導出方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內有兩個實根．

解答：解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R），
∴f′(x)=

b

x

，g'（x）=2ax-1．   …（2分）
∵曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，
∴

f(1)=bln1=0 g(1)=a-1=0 b=2a-1

，解得

a=1 b=1

．…（4分）
（2）設F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0
則F′(x)=

1

x

-2x+1=

-(2x+1)(x-1)

x

，…（5分）
∴當x＞1時，y＜0；當-

1

2

＜x＜0時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0；當x＜-

1

2

時，y＞0．
∴F（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．…（7分）
∴F（x）最大值為F（1）=ln1-（1-1）=0．
∴F（x）=f（x）-g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）
（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e
∴f（x）-g（x）=x轉化為blnx-x²=0，
令G（x）=blnx-x²，則G′(x)=

b-2x2

x

，
由G′(x)=

b-2x2

x

=0，得x=±

b 2

，
∵x∈（1，e^b）且b＞2e，
∴

b 2

＞

e

＞1，e^b＞

b 2

，
∴由G′（x）＞0得1＜x＜

b 2

，由G′（x）＜0，得

b 2

＜x＜eb，
∴G（x）在(1，

b 2

)上單調遞增，在(

b 2

，eb)上單調遞減
∴當x=

b 2

時，Gmax(x)=bln

b 2

-

b

2

=

b

2

ln

b

2

-

b

2

=

b

2

(ln

b

2

-1)，…（10分）
∵b＞2e，∴

b

2

＞e，∴ln

b

2

＞lne=1，∴G(

b 2

)＞0
又∵G（1）=-1＜0G（e^b）=blne^b-e^2b=b²-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0，
∴方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內有兩個實根．…（12分）

點評：本題考查導數的幾何意義的應用，考查不等式恒成立的證明，考查方程的實根個數的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．