Question

（2012•徐匯區一模）由9個互不相等的正數組成的矩陣

a11 a12  a13 a21 a22  a23 a31 a32  a33

中，每行中的三個數成等差數列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃、a₂₁+a₂₂+a₂₃、a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，下列四個判斷正確的有（　　）
①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比數列；       
②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比數列；
③a₁₂+a₃₂＞a₂₁+a₂₃；
④若9個數之和等于9，則a₂₂＜1．

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：先由題意設列出由9個正數組成的矩陣是：

a a+d  a+2d b b+m b+2m c c+n  c+2n

，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正確；再由（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），得到③④正確；再根據題設列舉出由9個正數組成的特殊矩陣判斷②正確即可．

解答：解：由題意設由9個正數組成的矩陣是：

a a+d  a+2d b b+m b+2m c c+n  c+2n

，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列
則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正確；
（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），故③正確；
再題意設由9個正數組成的矩陣是：

1 2    3 2.5 4    5.5 6.5   8    9.5

，故②正確；
對于④，若9個數之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3-（a+d+c+n）≤3-2

(a+d)(c+n)

=3-2（b+m），
∴b+m≤1，即a₂₂≤1，故④正確；
其中正確的序號有①②③④．
故選A．

點評：本小題主要考查等比數列的性質、等差數列的性質、三階矩陣等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．