Question

已知函數f（x）=ax³+sinθx²-2x+c的圖象經過點，且在區間（-2，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增．
（1）證明sinθ=1；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若對于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤恒成立，試問：這樣的m是否存在，若存在，請求出m的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，根據函數f（x）在區間（-2，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增得到f′（1）=0且f′（-2）≤0，代入導函數分別得到兩個關系式記作①和②，由①求出a等于一個關系式，把這個關系式代入②得到sinθ大于等于1，根據正弦函數的值域得到sinθ等于1；
（2）將sinθ的值代入①即可求出a的值，把a的值代入到f（x）中，又因為函數f（x）圖象經過點，即f（1）=，代入即可求出c的值，即可得到f（x）的解析式；
（3）把a和sinθ的值代入導函數中確定出導函數的解析式，根據導函數的正負得到函數的單調區間，然后分m大于1和m大于等于0小于等于1時，根據函數的單調區間分別求出函數的最小值和最大值，利用最大值和最小值得到|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于等于列出關于m的范圍即可求出滿足題意的m的范圍．
解答：解：（1）∵f'（x）=3ax²+（sinθ）x-2
由題設可知即
由①得：a=，代入②得：12×-2sinθ-2≤0，
化簡得：sinθ≥1，
∴sinθ=1；

（2）將sinθ=1代入①式得：a=，則f（x）=x³+x²-2x+c，
而又由f（1）=，代入得c=，
∴f（x）=x³+x²-2x+即為所求；

（3）f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1）
易知f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）上均為增函數，在（-2，1）上為減函數．
（i）當m＞1時，f（x）在[m，m+3]上遞增．故f（x）max=f（m+3），f（x）min=f（m）
由f（m+3）-f（m）=（m+3）³+（m+3）²-2（m+3）-m³-m²+2m
=3m2+12m+≤，得-5≤m≤1．這與條件矛盾故舍去；
（ii）當0≤m≤1時，f（x）在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增，
∴f（x）min=f（1），f（x）max={f（m），f（m+3）}max，
又f（m+3）-f（m）=3m²+12m+=3（m+2）²-＞0（0≤m≤1）
∴f（x）max=f（m+3）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）max-f（x）min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=恒成立，
故當0≤m≤1原式恒成立．
綜上：存在m且m∈[0，1]合乎題意．
點評：此題考查學生會利用導函數的正負判斷函數的單調性，掌握正弦函數的值域及會利用待定系數法求函數的解析式，掌握導數在最值問題中的應用，是一道綜合題．