Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+2．
（Ⅰ）若f（x）在x=1時，有極值-1，求b，c的值；
（Ⅱ）當b為非零實數時，證明f（x）的圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用f（x）在x=1時，有極值-1，建立方程，由此可求b、c的值；
（2）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行，從而f′（t）=c-b²，利用方程△＜0，可得結論；

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1時，有極值-1，
∴f′（1）=0，f（1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5；
（2）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，直線（b²-c）x+y+1=0的斜率為c-b²，
∴3t²+2bt+c=c-b²，
∴3t²+2bt+b²=0
∴△=4b²-12b²=-8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
從而3t²+2bt+b²=0無解，因此不存在t，使f′（t）=c-b²，
故f（x）圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，體現了解方程的思想方法，綜合性強．