Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E為AD的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）連接PE、EB、BD，分別在等邊△PAD和等邊△BAD中利用“三線合一”，證出PE⊥AD且BE⊥AD，結合線面垂直判定定理證出AD⊥平面PBE，從而可得AD⊥PB；
（2）過E作EF⊥PB于F，利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定與性質(zhì)，證出EF⊥平面PBC，得EF長就是點E到平面PBC的距離．根據(jù)題中數(shù)據(jù)算出Rt△PEB中各邊之長，利用直角三角形的面積公式算出EF的長，即得點E到平面PBC的距離．

解答：解：（1）連接PE、EB、BD，
∵△PAD為等邊三角形，E為AD的中點，∴PE⊥AD…（2分）
∵四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，E為AD的中點，
∴BE⊥AD…（4分）
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB…（6分）
（2）過E作EF⊥PB于F
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴PE⊥BC
∵菱形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，∴BE⊥BC
∵PE、BE是平面PBE內(nèi)的相交直線，∴BC⊥平面PBE
∵EF?平面PBE，∴BC⊥EF，
∵EF⊥PB且PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，得EF長就是點E到平面PBC的距離
∵△ADB、△ADP是邊長為2的等邊三角形，
∴Rt△PEB中，PE=BE=

3

2

AD=

3

，得PB=

2

BE=

6

由此可得：EF=

PE•EB

PB

=

6

2

，即點E到平面PBC的距離等于

6

2

．…（12分）

點評：本題在四棱錐中證明線線垂直，并求點到平面的距離．著重考查了面面垂直性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了等邊三角形的性質(zhì)和點到平面距離求法等知識，屬于中檔題．