Question

已知函數f（x）=log₃x+m（1≤x≤9，m為常數）的圖象經過點（1，2），則函數g（x）=[f（x）]²-f（x²）的值域為

[2，5]

．

Answer 1

分析：先由函數f（x）=log₃x+m（1≤x≤9，m為常數）的圖象經過點（1，2），求得m，再根據f（x）的定義域為[1，9]，求出g（x）的定義域為[1，3]，然后利用二次函數的最值再求函數g（x）=[f（x）]²-f（x²）=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（log₃x+1）²+1的最大值與最小值．

解答：解：∵函數f（x）=log₃x+m（1≤x≤9，m為常數）的圖象經過點（1，2），
∴log₃1+m=2，∴m=2，∴f（x）=log₃x+2，
由f（x）的定義域為[1，9]可得g（x）的定義域為[1，3]，
又g（x）=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（log₃x+1）²+1，
∵1≤x≤3，∴0≤log₃x≤1．
∴當x=1時，g（x）有最小值2；
當x=3時，g（x）有最大值5．
則函數g（x）=[f（x）]²-f（x²）的值域為[2，5]．
故答案為：[2，5]．

點評：根據f（x）的定義域，先求出g（x）的定義域是正確解題的關鍵步驟，屬于易錯題．